อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

> ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก บทนิยาม 1.5.1 ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกไซน์ (hyperbolic sine function) แทนด้วย sinh และฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกโคไซน์ (hyperbolic cosine function) แทนด้วย cosh นิยามดังนี้      สำหรับทุกจำนวนจริง x ตัวอย่าง 1.5.1 จงหา sinh(0) และ cosh(0) วิธีทำ                 1.                                                        2.    ตัวอย่าง 1.5.2 จงพิสูจน์ว่า                            1. sinh(– x) = – sinh(x)                            2. cosh(– x) = cosh(x) พิสูจน์                1.    =    = – sinh(x)                            2.    =    = cosh(x) อ่านต่อ

อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

 ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ

บทนิยาม 1.1.1 ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithmic function) แทนด้วยสัญลักษณ์ ln นิยามดังนี้

 สำหรับทุก x ในช่วง (0, ? )

ข้อสังเกต 1. โดยทฤษฎีมูลหลักของแคลคูลัส (The First Fundamental Theorem of Calculus) จะได้ว่า

 สำหรับทุก x > 0 แสดงว่า ln เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, ? )

                  2. เนื่องจาก ln หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (0, ? ) ดังนั้น ln ต่อเนื่องบนช่วง (0, ? )

                  3. ถ้า x > 1 จะได้ว่า  คือ พื้นที่ใต้กราฟของ  เมื่อ จาก t =1 ถึง t = x

อ่านต่อ

ทรัพยากรแร่ธาตุ

ความสำคัญของแร่ธาตุ
          
          1. ด้านความมั่นคงและมั่งคั่งของประเทศ ประเทศที่มีแร่ธาตุต่าง ๆ มากมายและสามารถนำไปใช้แปรรูปเป็นผลผลิตต่าง ๆ ที่ทำประโยชน์ต่อมนุษย์ เช่น ด้านอาวุธ ด้านอุตสาหกรรม
          2. ด้านความเป็นอยู่ของมนุษย์ ได้มีการนำแร่ธาตุต่าง ๆ มาใช้ประโยชน์และสร้างขึ้นเป็นสิ่งต่าง ๆ เช่น ภาชนะใช้สอย พาหนะที่ช่วยในการคมนาคม อาคารบ้านเรือน ก๊าซหุงต้ม พลังงานไฟฟ้า
          3. ด้านการสร้างงานแก่ประชาชน ทำให้ประชาชนมีรายได้จากการขุดแร่ ไปจนถึงแปรรูปเป็นผลิตภัณฑ์ไปสู่ผู้บริโภค
          นอกจากนี้แร่ธาตุชนิดต่าง ๆ มีคุณสมบัติต่างกัน จึงมีประโยชน์แตกต่างกัน เช่น แร่วุลแฟรม นำมาทำไส้หลอดไฟฟ้า ใช้ในอุตสาหรกรรมเครื่องแก้ว แร่พลวงนำมาใช้ทำตัวพิมพ์หนังสือ ทำสี แบตเตอรี รัตนชาติ เป็นแร่ที่มีสีสันสวยงาม นำมาใช้ทำเครื่องประดับต่าง ๆ มากมาย

อ่านต่อ